Partage des moutons

Si vous êtes un tant soit peu connu par votre entourage comme étant un matheux ou scientifique vous avez déjà entendu ces phases qui commencent par : « Tiens, toi qui fort en maths … »

Hier une amie est venue me raconter cette histoire :

- Tiens, toi qui est fort en maths, comment ferais tu pour résoudre ce problème :

Dans son testament un berger écrit qu’il lègue ses 17 moutons vivants à ses 3 fils, et indique comment devra se faire le partage :
 - L’aîné héritera de la moitié du troupeau,
 - Le cadet d’un tiers,
 - Le benjamin d’un neuvième.
A la mort du berger le sage du village est chargé d'exécuter le testament.Mais comment faire sachant que :
 - La moitié de 17 =  8,5
 - Le tiers de 17 =  5,66666
 - Le neuvième de 17 =  1,88888
et que les moutons doivent rester vivants !

- Alors, toi qui fort en maths, comment ferais tu à la place du sage ?

J’ai immédiatement répondu qu’il n’y avait pas de solution pour respecter les dernières volontés du berger car, quoique l’on fasse, la moitié de 17 vaudra toujours 8.5 et que l’on ne peut pas tuer des moutons pour les découper.

- Ah, c’est bien les matheux ça. Aucun sens pratique ! Eh bien moi qui suis pourtant nulle en maths je vais te dire comment le sage fait, c’est pourtant facile…

Le sage ajoute généreusement un de ses moutons au troupeau à partager, ce qui fait un troupeau de 18 moutons. Il donne la moitié au fils aîné, donc 9 moutons ; puis donne le tiers au fils cadet, donc 6 moutons et enfin un neuvième, soit 2 moutons, au benjamin. Et comme 9 + 6 + 2 = 17 le 18 ème mouton retourne d’où il vient, c’est-à-dire dans le troupeau du sage.

Avant que je formule ma première critique elle ajouta :

- Les 17 moutons ont bien été partagés sans être dépecés, et le sage n’a pas perdu le mouton qu’il avait prêtait. On est d’accord ?

- Euh … non, on n’est pas d’accord !

D'abord on constate que tout le monde a eu plus que ce qui est prévue par la règle de partage voulue par le berger.

Mais, comme toujours dans ce type de fausse solution, il faut revenir à l’énoncé.

Le berger a donné une règle de partage : 1/2 + 1/3 + 1/9
Mais cette règle de partage représente-t-elle tout le  troupeau ?

Pour le vérifier il faut réduire ces 3 fractions au même dénominateur.
Ce qui donne 9/18 + 6/18 + 2/18 = (9 + 6 + 2)/18 = 17/18

Le berger n’a donc pas prévu de léguer tout son troupeau à ses fils, mais seulement 17/18 c’est-à-dire 94.4444% du troupeau. Une petite partie (1/18) reste en dehors de l’héritage. 

Cette volonté n’est pas respectée par le sage puisque sa solution ne laisse rien après le partage.

En fait le sage a appliqué les proportions (1/2, 1/3, 1/9) sur 18 et non sur 17. Il se trouve que ça tombe juste et qu’il reste un mouton. Ce qui laisse faussement croire que le partage du sage n'a porté que sur les 17 moutons.

Et là mon amie me dit :
- Mais si il a respecté la volonté du berger puisque il restait un mouton à la fin….

On a beau être matheux, dans ces cas, on ne peut pas lutter !

Paradoxe de Borda

PREALABLE

Ceci n'est pas une discussion sur la fiabilité des sondages mais sur un paradoxe soulevé par Bordas et repris par Condorcet (les sondages n’existaient pas à leur époque). Le paradoxe présenté ici ne fait que rajouter à la complexité d’interprétation des sondages.

Ce qui suit peut s’appliquer à tous types de choix ; qu’il s’agisse de choisir un président de la république, un sous-traitant, un projet à financer ect…  J’utiliserai le vocabulaire des élections (candidats, électeurs, voix) mais ce n’est pas une exigence.

ETABLIR  LES  PREFERENCES

Posons la question suivante à tous les électeurs et supposons que tous les électeurs répondent honnêtement.

« Parmi ces 3 candidats A, B, C pour lequel voteriez vous ? »

On note la réponse de l’électeur, puis on lui repose la question en éliminant de la liste celui qu’il vient de choisir. Ainsi, pour chaque électeur on obtient un classement des 3 candidats.

Exemple :

Q1) Votre choix entre « A, B, C » ?
R2) B.
Q2) Votre choix entre « A, C » ?
R2) A.

Pour cet électeur le classement est donc : B, A, C (ligne 3 dans les tableaux ci-dessous)

NOTES: Avec 3 candidats il y a 6 combinaisons possibles. De manière générale avec n candidats il y a factorielle(n) combinaisons, ce qui croit très vite : 3 candidats 6 combinaisons, 4 candidats 24 combinaisons … 11 candidats 39 916 800 combinaisons. Pour des raisons de facilité j’en reste à 3 candidats mais avec des programmes on peut simuler sans problèmes des millions de combinaisons. Notez qu’avec 12 candidats il y a plus de combinaisons que d’électeurs en Europe !

Imaginons que les préférences des électeurs établissent le classement suivant :

    combinaisons      voix
1    A    B    C       2 %
2    A    C    B      37 %
3    B    A    C       5 %
4    B    C    A      27 %
5    C    A    B       3 %
6    C    B    A      26 %

ANALYSE

39% des électeurs ont mis A en tête (lignes 1 et 2)
32% des électeurs ont mis B est en tête (lignes 3 et 4)
29% des électeurs ont mis C est en tête (lignes 5 et 6)

Notez que ces trois pourcentages sont exactements les même que dans le paradoxe de Condorcet.

Dans un système à deux tours, comme la présidentielle en France, A et B seraient sélectionnés pour le second tour.

Analysons les préférences en prenant les candidats deux à deux.

1. A face à B : B l’emporte, paradoxalement, avec 58% des voix.
   Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
   c’est à dire les lignes 1, 2, 5. Soit 2% + 37% + 3% = 42%
   Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
   c’est à dire les lignes 3, 4, 6. Soit 5% +27% + 12% = 58% 
   
    
2. B face à C : C l’emporte, paradoxalement, avec 66% des voix.
   Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
   c’est à dire les lignes 1, 3, 4. Soit 2% + 5% +27% = 34%
   Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
   c’est à dire les lignes 2, 5, 6. Soit 37% + 3% + 26% = 66%
   
    
3. A face à C : C l’emporte, paradoxalement, avec 56% des voix.
   Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
   c’est à dire les lignes 1, 2, 3. Soit 2% + 37% + 5% = 44%
   Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
   c’est à dire les lignes 4, 5, 6. Soit 27% + 3% + 26% = 56%
   
    

PARADOXE  DE  BORDA

Paradoxalement, le vainqueur du premier tour perd en tête à tête face aux autres candidats. Ici le résultat des tête à tête est l'exact opposé du classement général : C'est le paradoxe de Borda. 

L'ordre, d'aprés les 3 tête à tête, est C, B, A. Contraitement au paradoxe de Condorcet, la transitivite des tête à tête est respectée. Pourtant on ne retrouve pas cette logique dans le classement quand on compares les 3 candidats sur un seul tour.

Le vainqueur de l'ensemble des tête à tête (ici C) est appelé "vainqueur de Condorcet". C'est  celui qui est préféré à tout autre. Mais ce vainqueur n'existe pas toujour : c'est le paradoxe de Condorcet.

Paradoxe de Condorcet

PREALABLE

Ceci n'est pas une discussion sur la fiabilité des sondages mais sur un paradoxe soulevé par Condorcet (les sondages n’existaient pas à son époque). Le paradoxe présenté ici ne fait que rajouter à la complexité d’interprétation des sondages.

Ce qui suit peut s’appliquer à tous types de choix ; qu’il s’agisse de choisir un président de la république, un sous-traitant, un projet à financer ect…  J’utiliserai le vocabulaire des élections (candidats, électeurs, voix) mais ce n’est pas une exigence.

ETABLIR  LES  PREFERENCES

Posons la question suivante à tous les électeurs et supposons que tous les électeurs répondent honnêtement.

« Parmi ces 3 candidats A, B, C pour lequel voteriez vous ? »

On note la réponse de l’électeur, puis on lui repose la question en éliminant de la liste celui qu’il vient de choisir. Ainsi, pour chaque électeur on obtient un classement des 3 candidats.

Exemple :

Q1) Votre choix entre « A, B, C » ?
R2) B.
Q2) Votre choix entre « A, C » ?
R2) A.

Pour cet électeur le classement est donc : B, A, C (ligne 3 dans les tableaux ci-dessous)

NOTES: Avec 3 candidats il y a 6 combinaisons possibles. De manière générale avec n candidats il y a factorielle(n) combinaisons, ce qui croit très vite : 3 candidats 6 combinaisons, 4 candidats 24 combinaisons … 11 candidats 39 916 800 combinaisons. Pour des raisons de facilité j’en reste à 3 candidats mais avec des programmes on peut simuler sans problèmes des millions de combinaisons. Notez qu’avec 12 candidats il y a plus de combinaisons que d’électeurs en Europe !

Imaginons que les préférences des électeurs établissent le classement suivant :

    combinaisons      voix
1    A    B    C      37 %
2    A    C    B       2 %
3    B    A    C       5 %
4    B    C    A      27 %
5    C    A    B      17 %
6    C    B    A      12 %

ANALYSE

39% des électeurs ont mis A en tête (lignes 1 et 2)
32% des électeurs ont mis B est en tête (lignes 3 et 4)
29% des électeurs ont mis C est en tête (lignes 5 et 6)
 
Notez que ces trois pourcentages sont les mêmes que dans le paradoxe de Borda.

Dans un système à deux tours comme la présidentielle A et B seraient sélectionnés pour le second tour.

Analysons les préférences en prenant les candidats deux à deux.

1. A face à B : A l’emporte, logiquement, avec 56% des voix.
   Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
   c’est à dire les lignes 1, 2, 5. Soit 37% + 2% + 17% = 56%
   Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
   c’est à dire les lignes 3, 4, 6. Soit 5% +27% + 12% = 44%
   
   
2. B face à C : B l’emporte, logiquement, avec 69% des voix.
   Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
   c’est à dire les lignes 1, 3, 4. Soit 37% + 4% +27% = 69%
   Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
   c’est à dire les lignes 2, 5, 6. Soit 2% + 17% + 12% = 31%
   
   
3. A face à C : C l’emporte, paradoxalement, avec 56% des voix.
   Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
   c’est à dire les lignes 1, 2, 3. Soit 37% + 2% + 4% = 44%
   Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
   c’est à dire les lignes 4, 5, 6. Soit 27% + 17% + 12% = 56%
   
   

PARADOXE  DE  CONDORCET

Paradoxalement, le vainqueur du premier tour perd face à celui qui serait éliminé au premier tout !!  

En maths on dit que la transitivité n’est pas respectée. La transitivité c’est ce qui dit que : Si A pèse plus lourd que B et que B pèse plus lourd que C alors A pèse plus lourd que C. Le poids permet d’établir une relation transitive entre les personnes. Pas le vote !

Ce n’est pas l’absence de cette logique qui est la cause de ce paradoxe. Borda a montré que même avec des tête à tête transitifs on n’obtenait pas toujours un classement à un tour représentant cette logique.