PREALABLE
Ceci n'est pas une discussion sur la fiabilité des
sondages mais sur un paradoxe soulevé par Bordas et repris par Condorcet (les sondages
n’existaient pas à leur époque). Le paradoxe présenté ici ne fait que
rajouter à la complexité d’interprétation des sondages.
Ce qui suit peut s’appliquer à tous types de choix ; qu’il s’agisse de choisir un président de la république, un sous-traitant, un projet à financer ect… J’utiliserai le vocabulaire des élections (candidats, électeurs, voix) mais ce n’est pas une exigence.
ETABLIR LES PREFERENCES
Posons la question suivante à tous les électeurs et supposons que tous les électeurs répondent honnêtement.
« Parmi ces 3 candidats A, B, C pour lequel voteriez vous ? »
On note la réponse de l’électeur, puis on lui repose la question en éliminant de la liste celui qu’il vient de choisir. Ainsi, pour chaque électeur on obtient un classement des 3 candidats.
Exemple :
Exemple :
Q1) Votre choix entre « A, B, C » ?
R2) B.
Q2) Votre choix entre « A, C » ?
R2) A.
Pour cet électeur le classement est donc : B, A, C (ligne 3 dans les tableaux ci-dessous)
NOTES: Avec 3 candidats il y a 6 combinaisons possibles. De manière générale avec n candidats il y a factorielle(n) combinaisons, ce qui croit très vite : 3 candidats 6 combinaisons, 4 candidats 24 combinaisons … 11 candidats 39 916 800 combinaisons. Pour des raisons de facilité j’en reste à 3 candidats mais avec des programmes on peut simuler sans problèmes des millions de combinaisons. Notez qu’avec 12 candidats il y a plus de combinaisons que d’électeurs en Europe !
NOTES: Avec 3 candidats il y a 6 combinaisons possibles. De manière générale avec n candidats il y a factorielle(n) combinaisons, ce qui croit très vite : 3 candidats 6 combinaisons, 4 candidats 24 combinaisons … 11 candidats 39 916 800 combinaisons. Pour des raisons de facilité j’en reste à 3 candidats mais avec des programmes on peut simuler sans problèmes des millions de combinaisons. Notez qu’avec 12 candidats il y a plus de combinaisons que d’électeurs en Europe !
Imaginons que les préférences des électeurs établissent le classement suivant :
combinaisons voix
1 A B C 2 %
2 A C B 37 %
3 B A C 5 %
4 B C A 27 %
5 C A B 3 %
6 C B A 26 %
ANALYSE
39% des électeurs ont mis A en tête (lignes 1 et 2)
32% des électeurs ont mis B est en tête (lignes 3 et 4)
29% des électeurs ont mis C est en tête (lignes 5 et 6)
Notez que ces trois pourcentages sont exactements les même que dans le paradoxe de Condorcet.
Dans un système à deux tours, comme la présidentielle en France, A et B seraient sélectionnés pour le second tour.
Analysons les préférences en prenant les candidats deux à deux.
32% des électeurs ont mis B est en tête (lignes 3 et 4)
29% des électeurs ont mis C est en tête (lignes 5 et 6)
Notez que ces trois pourcentages sont exactements les même que dans le paradoxe de Condorcet.
Dans un système à deux tours, comme la présidentielle en France, A et B seraient sélectionnés pour le second tour.
Analysons les préférences en prenant les candidats deux à deux.
- A face à B : B l’emporte, paradoxalement, avec 58% des voix.
Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
c’est à dire les lignes 1, 2, 5. Soit 2% + 37% + 3% = 42%
Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
c’est à dire les lignes 3, 4, 6. Soit 5% +27% + 12% = 58%
- B face à C : C l’emporte, paradoxalement, avec 66% des voix.
Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
c’est à dire les lignes 1, 3, 4. Soit 2% + 5% +27% = 34%
Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
c’est à dire les lignes 2, 5, 6. Soit 37% + 3% + 26% = 66%
- A face à C : C l’emporte, paradoxalement, avec 56% des voix.
Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
c’est à dire les lignes 1, 2, 3. Soit 2% + 37% + 5% = 44%
Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
c’est à dire les lignes 4, 5, 6. Soit 27% + 3% + 26% = 56%
PARADOXE DE BORDA
Paradoxalement, le vainqueur du premier tour perd en tête à tête face
aux autres candidats. Ici le résultat des tête à tête est l'exact
opposé du classement général : C'est le paradoxe de Borda.
L'ordre, d'aprés les 3 tête à tête, est C, B, A. Contraitement au paradoxe de Condorcet, la transitivite des tête à tête est respectée. Pourtant on ne retrouve pas cette logique dans le classement quand on compares les 3 candidats sur un seul tour.
Le vainqueur de l'ensemble des tête à tête (ici C) est appelé "vainqueur de Condorcet". C'est celui qui est préféré à tout autre. Mais ce vainqueur n'existe pas toujour : c'est le paradoxe de Condorcet.
L'ordre, d'aprés les 3 tête à tête, est C, B, A. Contraitement au paradoxe de Condorcet, la transitivite des tête à tête est respectée. Pourtant on ne retrouve pas cette logique dans le classement quand on compares les 3 candidats sur un seul tour.
Le vainqueur de l'ensemble des tête à tête (ici C) est appelé "vainqueur de Condorcet". C'est celui qui est préféré à tout autre. Mais ce vainqueur n'existe pas toujour : c'est le paradoxe de Condorcet.