26 mars 2012

Paradoxe de Condorcet

PREALABLE

Ceci n'est pas une discussion sur la fiabilité des sondages mais sur un paradoxe soulevé par Condorcet (les sondages n’existaient pas à son époque). Le paradoxe présenté ici ne fait que rajouter à la complexité d’interprétation des sondages.

Ce qui suit peut s’appliquer à tous types de choix ; qu’il s’agisse de choisir un président de la république, un sous-traitant, un projet à financer ect…  J’utiliserai le vocabulaire des élections (candidats, électeurs, voix) mais ce n’est pas une exigence.

ETABLIR  LES  PREFERENCES

Posons la question suivante à tous les électeurs et supposons que tous les électeurs répondent honnêtement.
« Parmi ces 3 candidats A, B, C pour lequel voteriez vous ? »
On note la réponse de l’électeur, puis on lui repose la question en éliminant de la liste celui qu’il vient de choisir. Ainsi, pour chaque électeur on obtient un classement des 3 candidats.

Exemple :
Q1) Votre choix entre « A, B, C » ?
R2) B.
Q2) Votre choix entre « A, C » ?
R2) A.
Pour cet électeur le classement est donc : B, A, C (ligne 3 dans les tableaux ci-dessous)

NOTES: Avec 3 candidats il y a 6 combinaisons possibles. De manière générale avec n candidats il y a factorielle(n) combinaisons, ce qui croit très vite : 3 candidats 6 combinaisons, 4 candidats 24 combinaisons … 11 candidats 39 916 800 combinaisons. Pour des raisons de facilité j’en reste à 3 candidats mais avec des programmes on peut simuler sans problèmes des millions de combinaisons. Notez qu’avec 12 candidats il y a plus de combinaisons que d’électeurs en Europe !

Imaginons que les préférences des électeurs établissent le classement suivant :

    combinaisons      voix
1    A    B    C      37 %
2    A    C    B       2 %
3    B    A    C       5 %
4    B    C    A      27 %
5    C    A    B      17 %
6    C    B    A      12 %

ANALYSE

39% des électeurs ont mis A en tête (lignes 1 et 2)
32% des électeurs ont mis B est en tête (lignes 3 et 4)
29% des électeurs ont mis C est en tête (lignes 5 et 6)
 

Notez que ces trois pourcentages sont les mêmes que dans le paradoxe de Borda.

Dans un système à deux tours comme la présidentielle A et B seraient sélectionnés pour le second tour.

Analysons les préférences en prenant les candidats deux à deux.


  1. A face à B : A l’emporte, logiquement, avec 56% des voix.
    Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
    c’est à dire les lignes 1, 2, 5. Soit 37% + 2% + 17% = 56%
    Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
    c’est à dire les lignes 3, 4, 6. Soit 5% +27% + 12% = 44%

  2. B face à C : B l’emporte, logiquement, avec 69% des voix.
    Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
    c’est à dire les lignes 1, 3, 4. Soit 37% + 4% +27% = 69%
    Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
    c’est à dire les lignes 2, 5, 6. Soit 2% + 17% + 12% = 31%

  3. A face à C : C l’emporte, paradoxalement, avec 56% des voix.
    Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
    c’est à dire les lignes 1, 2, 3. Soit 37% + 2% + 4% = 44%
    Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
    c’est à dire les lignes 4, 5, 6. Soit 27% + 17% + 12% = 56%

PARADOXE  DE  CONDORCET

Paradoxalement, le vainqueur du premier tour perd face à celui qui serait éliminé au premier tout !!  

En maths on dit que la transitivité n’est pas respectée. La transitivité c’est ce qui dit que : Si A pèse plus lourd que B et que B pèse plus lourd que C alors A pèse plus lourd que C. Le poids permet d’établir une relation transitive entre les personnes. Pas le vote !

Ce n’est pas l’absence de cette logique qui est la cause de ce paradoxe. Borda a montré que même avec des tête à tête transitifs on n’obtenait pas toujours un classement à un tour représentant cette logique.

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