26 mars 2012

Paradoxe de Borda

PREALABLE

Ceci n'est pas une discussion sur la fiabilité des sondages mais sur un paradoxe soulevé par Bordas et repris par Condorcet (les sondages n’existaient pas à leur époque). Le paradoxe présenté ici ne fait que rajouter à la complexité d’interprétation des sondages.

Ce qui suit peut s’appliquer à tous types de choix ; qu’il s’agisse de choisir un président de la république, un sous-traitant, un projet à financer ect…  J’utiliserai le vocabulaire des élections (candidats, électeurs, voix) mais ce n’est pas une exigence.

ETABLIR  LES  PREFERENCES

Posons la question suivante à tous les électeurs et supposons que tous les électeurs répondent honnêtement.
« Parmi ces 3 candidats A, B, C pour lequel voteriez vous ? »
On note la réponse de l’électeur, puis on lui repose la question en éliminant de la liste celui qu’il vient de choisir. Ainsi, pour chaque électeur on obtient un classement des 3 candidats.

Exemple :
Q1) Votre choix entre « A, B, C » ?
R2) B.
Q2) Votre choix entre « A, C » ?
R2) A.
Pour cet électeur le classement est donc : B, A, C (ligne 3 dans les tableaux ci-dessous)

NOTES: Avec 3 candidats il y a 6 combinaisons possibles. De manière générale avec n candidats il y a factorielle(n) combinaisons, ce qui croit très vite : 3 candidats 6 combinaisons, 4 candidats 24 combinaisons … 11 candidats 39 916 800 combinaisons. Pour des raisons de facilité j’en reste à 3 candidats mais avec des programmes on peut simuler sans problèmes des millions de combinaisons. Notez qu’avec 12 candidats il y a plus de combinaisons que d’électeurs en Europe !

Imaginons que les préférences des électeurs établissent le classement suivant :

    combinaisons      voix
1    A    B    C       2 %
2    A    C    B      37 %
3    B    A    C       5 %
4    B    C    A      27 %
5    C    A    B       3 %
6    C    B    A      26 %

ANALYSE

39% des électeurs ont mis A en tête (lignes 1 et 2)
32% des électeurs ont mis B est en tête (lignes 3 et 4)
29% des électeurs ont mis C est en tête (lignes 5 et 6)


Notez que ces trois pourcentages sont exactements les même que dans le paradoxe de Condorcet.

Dans un système à deux tours, comme la présidentielle en France, A et B seraient sélectionnés pour le second tour.

Analysons les préférences en prenant les candidats deux à deux.


  1. A face à B : B l’emporte, paradoxalement, avec 58% des voix.
    Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
    c’est à dire les lignes 1, 2, 5. Soit 2% + 37% + 3% = 42%
    Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
    c’est à dire les lignes 3, 4, 6. Soit 5% +27% + 12% = 58% 

     
  2. B face à C : C l’emporte, paradoxalement, avec 66% des voix.
    Le candidat B recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
    c’est à dire les lignes 1, 3, 4. Soit 2% + 5% +27% = 34%
    Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant B,
    c’est à dire les lignes 2, 5, 6. Soit 37% + 3% + 26% = 66%

     
  3. A face à C : C l’emporte, paradoxalement, avec 56% des voix.
    Le candidat A recevra les voies des combinaisons où il est classé avant C,
    c’est à dire les lignes 1, 2, 3. Soit 2% + 37% + 5% = 44%
    Le candidat C recevra les voies des combinaisons où il est classé avant A,
    c’est à dire les lignes 4, 5, 6. Soit 27% + 3% + 26% = 56%

     

PARADOXE  DE  BORDA

Paradoxalement, le vainqueur du premier tour perd en tête à tête face aux autres candidats. Ici le résultat des tête à tête est l'exact opposé du classement général : C'est le paradoxe de Borda. 

L'ordre, d'aprés les 3 tête à tête, est C, B, A. Contraitement au paradoxe de Condorcet, la transitivite des tête à tête est respectée. Pourtant on ne retrouve pas cette logique dans le classement quand on compares les 3 candidats sur un seul tour.

Le vainqueur de l'ensemble des tête à tête (ici C) est appelé "vainqueur de Condorcet". C'est  celui qui est préféré à tout autre. Mais ce vainqueur n'existe pas toujour : c'est le paradoxe de Condorcet.

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